Las hadas de la probabilidad

Sonó mi teléfono. Al otro lado mi buena amiga Raquel, algo nerviosa, apenas encontraba las palabras para contarme su angustia opositora. En apenas unas semanas empezaban las oposiciones de educación especial. Su vida de profesora interina y madre soltera no le permitía poder prepararse el 100% del temario. En la academia le habían dicho que con 2/3 del temario bien preparado, bastaría para tener un alto porcentaje de éxito. Como matemático, me pedía que revisara las cuentas.

La probabilidad de que ocurra un suceso es un número positivo entre 0 y 1 y si lo queremos en porcentaje, basta multiplicarlo por 100. Por suceso entendemos el fenómeno que estamos tratando, en este caso, “salir en el sorteo al menos un tema conocido”. La probabilidad de un suceso se calcula como el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos totales. Esta ley recibe el nombre de su descubridor, regla de Laplace, en honor al matemático y ministro de Napoleón, Pierre Simon de Laplace (1749-1827).

La suma de la probabilidad de un suceso y del suceso opuesto (o 'complementario') es uno. A veces, es más fácil calcular la probabilidad del suceso del complementario que la del propio suceso. En nuestro caso, el suceso complementario es “salir dos temas que no conocemos”. Con estos conocimientos ya podemos calcular las probabilidades del reto planteado.

En el caso de Raquel, el temario lo formaban 65 temas, de los cuales se extraen 5 y hay que desarrollar uno. Para explicar el cálculo simplificamos un poco estos números. Supongamos que tenemos 10 temas y se extraen 2 bolas. Nos hemos preparado 6 temas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos nos salga en el sorteo un tema conocido?

Primero vamos a calcular la probabilidad del suceso complementario. Empecemos por el cálculo de los casos posibles. Al ser 10 temas, sacamos uno y volvemos a sacar otro, está claro que serán 10 x 9 = 90 parejas de temas que pueden salir. Los casos favorables al fenómeno complementario (“salir dos temas que no conocemos”) son 4 x 3 = 12, ya que son 4 temas no preparados en el primer sorteo, de los cuales sale uno y por tanto nos quedan otros 3 temas que pueden salir. Así se forman en total 12 posibles parejas contrarias a nuestros intereses. La probabilidad del suceso complementario es entonces 12/90=2/15, esto es aproximadamente 0,13 y por tanto la probabilidad de “salir en el sorteo al menos un tema conocido” es 1-0,13= 0,87, es decir un 87%.

Volviendo al caso de Raquel, consideremos que se ha preparado 44 temas de 65, un poco más de los 2/3 de total. La probabilidad de que le salga un tema conocido entre los cinco del sorteo es 0,9975. Estudiando 10 temas más podría subir esta probabilidad hasta el 0,9999, aunque valorando el esfuerzo necesario para ello, casi le recomiendo que afiance los temas ya preparados. Por supuesto estas pocas cuentas no aseguran el éxito en la oposición, no se llega al 100%, y en una oposición el tribunal también valora otros aspectos, entre ellos, presentar conexiones entre los diferentes temas. Por si queréis hacer otros ensayos hay una calculadora de probabilidades en esta dirección.

La alta optatividad permite 'apostar' casi sobre seguro a la hora de prepararse algunos exámenes. Las excepcionales circunstancias que estamos viviendo han llevado a las universidades españolas a preparar exámenes de acceso (EVAU) con una alta optatividad. Así, en el examen de junio 2021 de Matemáticas II y de Químicas de la Universidad de Zaragoza se daban a elegir al alumno 5 preguntas entre 10 propuestas, mientras que en el examen de Física 4 entre 8.

En otras ocasiones la reducción de opciones nos puede incluso favorecer. El problema de 'Monty Hall' recibe el nombre de un conocido presentador de concursos de televisión. En el programa estadounidense 'Trato Hecho', similar a nuestro 'Un, dos, tres', se proponía a los concursantes el siguiente juego. El presentador ofrece escoger al concursante entre tres puertas, detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras dos, una cabra. Escoge una puerta, digamos la 1º. El presentador sabe dónde está el coche, así que abre la 3º, que por supuesto contiene una cabra. Ahora le pregunta al concursante, ¿prefiere cambiar a la puerta 2º o se mantiene en la 1º? Probabilísticamente, ¿cuál es la mejor opción?

Por la regla de Laplace, la probabilidad de que el concursante escoja en una primera decisión la puerta que oculta el coche es de 1/3, mientras que la probabilidad de que esté en las otras dos puertas es de 2/3. La decisión del presentador de abrir una puerta no hace aumentar nuestra probabilidad a 1/2. Su decisión no es aleatoria, ya que conoce dónde está el coche y ha abierto una que no lo contiene. Revisando las probabilidades anteriores, se mantiene que la puerta 1 tiene probabilidad 1/3, mientras que la puerta 2 acumula los 2/3 de probabilidad al estar ya descartada la tercera. Si queremos maximizar nuestras posibilidades de ganar el coche hay que cambiar a la segunda puerta, aunque por supuesto esto no garantiza el éxito. Nuestra primera opción mantiene su 1/3 probabilidad de éxito. Son las hadas de la probabilidad que pueden tocarte con su varita mágica o no.

En mayo de 2000, a falta de una jornada para terminar la Liga, se hacían cálculos para saber qué opciones tenía el Real Zaragoza de ganar el Campeonato; sí han leído bien, de ganar una Liga. Jugaba en Mestalla contra el Valencia, y necesitaba que el Deportivo (hoy en día en peor situación) perdiera y el Barcelona no ganara. Alguien calculó que teníamos un 7% de posibilidades de ser campeones. En aquel momento pensé que era un buen porcentaje, todavía lo sigo pensando. Finalmente ganó el Deportivo la Liga y el Zaragoza, quedándose cuarto, no fue ni a la Champions. El Real Madrid ganó la Liga de Campeones y fue el cuarto equipo español en acudir a esa competición. Al fin y al cabo, como un escritor inglés afirmó, “la vida es una escuela de probabilidades”.

Pedro J. Miana Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad de Zaragoza

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