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Tercer Milenio

Matemáticas contigo

Primavera matemática en la ciudad

Sin esperarla, ni sabiendo cómo, la primavera ha llegado. Nos merecemos disfrutar de ella, de sus colores, sus aromas, sus sabores... y de sus matemáticas.

Presentan estructuras fractales los helechos, distintos tipos de cactus y flores como la de Pascua.
Presentan estructuras fractales los helechos, distintos tipos de cactus y flores como la de Pascua.
Pedro J. Miana

Siempre me pasa igual, vivo pendiente del reloj, de llegar a la hora, resolviendo lo urgente. Una mañana, una pequeña flor se abre en mi camino y sin decir nada, susurra que el invierno ha pasado. Me detengo, y fijo la mirada en ella. Solo son unos segundos pero suficientes para apreciar su belleza, y descubrir la magia de la vida que florece en cada rincón de la ciudad. Cambio de planes, me daré un paseo primaveral por el Parque Grande, ahora conocido como Parque Grande José Antonio Labordeta. Por supuesto, atento a las matemáticas que se presenten.

Es una mañana soleada. Tumbados en el césped una pareja joven hablan, y se ríen, por supuesto con mascarilla. A su alrededor florecillas blancas salpican la alfombra verde. La imagen me recordó años pasados, situaciones parecidas compartidas y todavía más lejano, aquel juego de infancia de Me quiere-No me quiere con las margaritas silvestres de la casa del pueblo. Y, aunque no lo parezca allí, delante había números.

 

Pétalo a pétalo

Leonardo de Pisa (c. 1170 -c. 1240) era hijo de Guiglielmo (Guillermo) Bonacci, un representante de los comerciantes de Pisa en el puerto del norte de África de Bujía, actual Argelia. Allí pasó su infancia y allí recibió educación por parte de los maestros árabes, que le transmitieron muchos de los conocimientos que poseían. En particular descubrió la importancia de las cifras indoarábigas que hoy en día todos nosotros usamos. La publicación del libro ‘Liber Abaci’ (1202) supuso la principal (que no la primera) vía de introducción de este revolucionario avance. Además, el libro incluía un problema sobre la reproducción de conejos que daría fama mundial a su autor. Los resultados formaban la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377... A la muerte de su padre, Leonardo de Pisa fue conocido con el apodo Fibonacci, hijo de Bonacci, y casi 700 años más tarde, el matemático francés Edouard Lucas bautizó esta sucesión como la celebérrima sucesión de Fibonacci. ¿Y dónde están las margaritas?

Ocurre que el número de pétalos de algunas margaritas coincide con un número de la sucesión de Fibonacci. Así, se pueden encontrar margaritas de 8, 13, 21, 34, 55 o incluso 89 pétalos. Eso de desnudar la margarita arrancando los pétalos no es muy respetuoso con la naturaleza. Bastaría con contar los pétalos y saber si es número impar (me quiere) o número par (no me quiere), pensé. Además, me di cuenta de lo siguiente. Como es sabido, en la sucesión de Fibonacci, se obtiene un término sumando los dos anteriores. Al empezar con dos impares (1 y 1), el siguiente es par (2) y los dos siguientes vuelven a ser impares (3 y 5). Este esquema (dos impares vs uno par) se reproduce a lo largo de toda la sucesión. Así que, si suponemos que nuestra margarita tiene un número de Fibonacci de pétalos, tenemos más probabilidad de que ella me quiera a que no lo haga.

Diente de león.
Diente de león.
Pedro J. Miana

Cerca de ellos, una niña de tan apenas cuatro años se entretenía buscando, cogiendo y soplando las semillas de los dientes de león. Al terminar, no sé si pedía un deseo, pero le bastaba avanzar unos pasos para encontrar otro tesoro y ser feliz. Decidí imitarla y cogí mi diente de león.

El diseño de las semillas de esta flor es otro milagro de la naturaleza del que no nos damos cuenta. Perfectamente empaquetadas formando una esfera, estudios recientes llevados a cabo por investigadores de la Universidad de Edimburgo han descubierto por qué estas semillas, capaces de recorrer grandes distancias, incluso kilómetros, vuelan tan bien. Para ello construyeron un túnel de viento vertical, y usaron fotografías de larga exposición y grabaciones de alta velocidad para captar cada instante.

Aunque parezca que la estructura de paracaídas se compone principalmente de espacio vacío limitado por el vilano, el diseño de sus cerdas y su posición esconde secretos descritos con fórmulas matemáticas. 

La geometría circular de este ‘paraguas’ y su porosidad permiten crear una burbuja de aire estable a distancia constante justo encima de la semilla. Esta burbuja, llamada anillo de vórtice o vórtice toroidal, se forma por el flujo de aire que pasa a través de los radios de este paraguas sin tela y le permite avanzar manteniéndose en altura y retardando su caída. La porosidad del vilano está calculada para estabilizar el vórtice al tiempo que minimiza los requisitos de material. Para otras semillas más pesadas, como las del arce, la naturaleza ha diseñado una membrana en forma de ala.

Volví la mirada sobre la niña, que esta vez tenía dos dientes de león, uno en cada mano. Soplaba alternativamente sobre cada uno de ellos, jugando y creando vórtices sobre las semillas. Avancemos, buscando otros horizontes, otros retos, otros milagros.

Verdes fractales

Y si a la naturaleza le gusta crear matemáticas, los fractales han sido una de sus creaciones estelares y espectaculares. En palabras del matemático polaco Benoît Mandelbrot (1924-2010), creador de la palabra ‘fractal ‘ (proveniente del latín ‘fractus’) y de la teoría matemática que la sustenta: "Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las líneas costeras no son círculos y la corteza no es lisa ni los rayos viajan en línea recta". La irregularidad de estas formas impedía que fueran descritas por conceptos geométricos tradicionales, y era necesario introducir nuevas teorías matemáticas.

Las dos características fundamentales de los objetos fractales son su autosimilitud, es decir, están hechos de copias más pequeñas de la misma figura, y la recursividad, método que permite pasar de un nivel al siguiente. Con esta técnica se optimizan recursos para conseguir un crecimiento adecuado.

En las plantas, encontramos estructuras fractales en los helechos, en distintos tipos de cactus o incluso en flores, como la flor de Pascua. Es curioso pensar que los helechos (y por tanto los fractales) son fósiles vivientes. Sirvieron de alimento a ciertos dinosaurios hace 200 millones de años, pero ya estaban aquí mucho antes que ellos. Es más, actualmente en cosmología se utiliza la estructura fractal para estudiar el comportamiento de las galaxias.

Col  romanescu.
Col romanescu.
Pedro J. Miana

Mi teléfono sonó, devolviéndome a una realidad de la que no podía escapar. Me apresuré para poder llegar a ella, o al menos, no demasiado tarde. De camino, en la frutería de la esquina, vi un fractal, y pensé que sería buena idea hincarle el diente. El romanescu es una coliflor que ha inundado las verdulerías y cada día es más frecuente encontrarla. Incluso en otras coles, como la lombarda, el brócoli o las pequeñas coles de Bruselas, también puede intuirse cierta estructura fractal. ¿Quién había dicho que las matemáticas no se pueden saborear?

Pedro J. Miana Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad de Zaragoza

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