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Matemáticas contigo

Un ocho tumbado: los secretos del símbolo  que representa el infinito

El concepto de infinito se encuentra oculto en los campos comunes de las matemáticas, la filosofía e incluso de la psicología. Súbete al próximo tranvía para descubrirlo.

Está matemáticamente probado que hay infinitos infinitos.
Está matemáticamente probado que hay infinitos infinitos.
Faizal Sugi / Pixabay

Miré a la distancia, y allí estaba el tranvía girando en la curva para tomar la recta que lo conducía a la parada Campus Río Ebro. Al menos esta vez no he tenido que correr, pensé aliviado mientras buscaba la tarjeta en la cartera.

En esta parada, el tranvía todavía va bastante vacío, y conseguí sentarme. Justo enfrente, una madre y su hija dibujaban en los cristales corazones de vapor. La pequeña de rizos dorados, de pronto afirmó:

Te quiero infinito, mamá.

… y yo más allá –completó su madre.

La frase me hizo sonreír. Acababa de contarles a mis alumnos de Ingeniería los diversos órdenes de infinitos que las funciones elementales podían presentar. Evidentemente el amor de un hija hacia su madre se me había olvidado, pero este se encontraba en la parte superior de la escala.

–Mamá, ¿cuál es el siguiente número después de infinito? –continuó la pequeña.

La pregunta atrajo todavía más mi atención. En ciencia, se suele decir, que son más interesantes las preguntas que las respuestas. Y esta era una pregunta con trampa. Inmediatamente miré a la madre que, algo apurada, busca una respuesta adecuada.

–Pues…

El infinito no es un número –decidí socorrerla. Los números puedes sumarlos, restarlos, multiplicarlos o dividirlos, pero el infinito no. En realidad, es una idea, que los matemáticos utilizamos porque es útil y funciona muy bien. Al ser una idea, no tiene ni siguiente ni anterior, como sí tienen los números. Lo que sí podemos es pintarlo; seguro que sabes dibujarlo.

Se me quedó mirando fijamente durante unos segundos. Me di cuenta que, con la mascarilla, tenemos un aspecto amenazante y tal vez la había asustado. Ella se volvió al cristal y pintó un infinito. A continuación se giró y dijo.

–Mi mama tiene un infinito tatuado en el brazo, junto con mi nombre, Estrella. Enséñaselo, mamá.

De nuevo las miradas se dirigieron hacia su madre. Compartía los rizos de su hija y en su cara se añadía otra vez el apuro de la situación. Mirando a su hija, deslizó la manga de la camisa y lo mostró. Quería seguir conversando, así que había que aprovechar aquel momento.

–En realidad este símbolo lo inventó un matemático, John Wallis (1616-1703), quien lo introduce en 1655 en un libro. Casi cuarenta años más tarde otro matemático, Jacob Bernouilli (1655-1705) dibuja las curvas llamadas lemniscatas, que se parecen mucho al símbolo elegido por Wallis.

¿Y por qué eligió ese dibujo ese tal Wallis? –esta vez fue la madre quien preguntó.

–La verdad es que no se sabe. Saqué un papel y un bolígrafo para poder dibujar. Se cree que pudo inspirarse en ciertas representaciones del número mil en romano, anteriores a que se impusiera el uso de la letra M. Mil significaba ‘mucho’ casi infinito. Pero hay otra teoría todavía más bonita y tiene que ver con los rizos de tu pelo, Estrella, o mejor dicho, con su color.

–¿A sí? Pues quiero saberlo –respondió ella inmediatamente.

–Supongamos que a la misma hora y desde el mismo sitio durante los 365 días del año le haces una foto al sol. Si juntas todas las fotos, la trayectoria que describe el sol se llama analema y se parece mucho al símbolo del infinito. Podía ser que Wallis conociera esto, y tomara esta curva para representar al infinito. Al fin y al cabo, los días, los años, la repetición sin parar es la idea del infinito.

Analema solar: si durante los 365 días del año, siempre a la misma hora y desde el mismo sitio, fotografías el sol y juntas todas las fotos, la trayectoria que describe se parece mucho al símbolo del infinito. ¿Pudo inspirarlo?
Analema solar: si durante los 365 días del año, siempre a la misma hora y desde el mismo sitio, fotografías el sol y juntas todas las fotos, la trayectoria que describe se parece mucho al símbolo del infinito. ¿Pudo inspirarlo?

Sin darnos cuenta, el tranvía se iba llenando. Me levante para ceder el asiento, y fue la pequeña Estrella quien dijo.

Estaría bien tener un tranvía infinito. Seguro que así todo el mundo se podría sentar.

Seguro que se llenaría también, Estrella, y más en Navidades –respondió su madre.

–En realidad, tu hija tiene razón, matemáticamente –añadí. Si tuviéramos un tranvía infinito y estuviera lleno, habría una forma para que subiera más gente. Esta es una de las paradojas del infinito. Al llegar a una nueva parada, podríamos mover a los viajeros del primer vagón al segundo; los del segundo al tercero y así sucesivamente. Así dejamos vacío el primer vagón y podrían subir nuevos viajeros.

–Eso de paradoja siempre me ha sonado a una mezcla entre acertijo, trabalenguas y locura –añadió la madre de Estrella. En psicología, se relaciona bastante a menudo la creatividad con trastornos psicológicos. Lord Byron o Van Gogh son dos ejemplos muy claros. Incluso hay estudios que afirman que hay patrones similares en el cerebro de los artistas trabajando y en el de los esquizofrénicos.

George Cantor (1845-1918) fue uno de los matemáticos que mejor ha entendido el concepto de infinito. Probó que hay infinitos infinitos. Durante décadas sufrió el rechazo por sus investigaciones y fue marginado por lo novedoso y rompedor de su obra. Fue un auténtico ‘Vincent van Gogh’ de las matemáticas. Sufría episodios de depresión maníaca que, unidos a la profundidad y controversia de sus trabajos y a las desgraciadas pérdidas de su madre, hermano e hijo menor, hicieron que pasara gran parte de las últimas décadas de su vida en el hospital psiquiátrico de Halle. Afortunadamente, a mí me gusta el fútbol, aunque con el Zaragoza este año, no sé dónde acabaré.

Hice reír con el comentario.

–Nuestra parada, Estrella. Tenemos que bajar, que nos cierran las puertas. Despídete, cielo.

Al bajar, y al otro lado de la ventana, Estrella me buscó con la mirada y me regalo un infinito en el aire, señalando primero a su pecho. Seguro que sonreía por debajo de esa mascarilla llena de corazones. Sobre sus cabezas, un cielo de triángulos iluminaba una Navidad infinita.

Pedro J. Miana Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad de Zaragoza

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