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Sociedad

Tercer Milenio

Matemáticas contigo

Ronda matemática de cervezas infinitas

Matemáticas, amigos y cañas se mezclan en esta escena prepandémica con una invitación no tan generosa como parece y una sencilla explicación que lo aclara todo. La conversación lleva hasta las sumas divergentes, aunque en este caso la demostración se quede para mejor momento.

Un matemático invita a cervezas hoy
Un matemático invita a cervezas hoy
Oliver Duch

Como siempre, llegaba tarde. Habíamos quedado hacía cinco minutos y hasta dentro de otros diez no llegaría. Aceleré el paso confiando en que el resto de los miembros de la cuadrilla no hubieran sido puntuales. Al abrir la puerta del bar y verlos sentados, la alegría del reencuentro venció a la culpa del retraso.

–Llegas tarde –saludó César.

–O vosotros pronto –respondí con una sonrisa y un abrazo.

La ronda de saludos finalizó y alcancé una silla libre para unirla al grupo. Pregunté por Daniel, llegaría más tarde; algo o alguien le habían retenido en Madrid. Al menos no era el último.

Por supuesto, habían comenzado a beber sin mí; en la mesa la parte vacía de los tubos de cerveza marcaba el tiempo de espera de cada uno. Ellos tampoco habían sido puntuales.

Al otro lado de la barra, una cara algo conocida me saludó.

–Hola Profe. ¿Cómo está? ¿Quiere que le ponga algo?

–¿Nos conocemos? Le respondí, para inmediatamente reconocerlo. Era Juan, un alumno de la Facultad que se sentaba en la segunda fila en el lado derecho.

–Un cilindro de cerveza –le confirmé con un mal chiste matemático.

A la vuelta a la mesa, mis amigos se reían.

–Seguro que este chico es otro ‘friki’ de las matemáticas. Ese chiste solo le hace gracia a los de tu secta –afirmó Pablo.

–Yo sabía un chiste del conjunto vacío, pero se quedó en nada –se atrevió a añadir José Luis.

–Como os veo de buen humor, os voy a invitar a cada uno a infinitos vasos de cerveza. La única condición es que cada vaso tendrá la mitad de la cantidad que el vaso anterior –les propuse. Os propongo esta restricción porque me preocupo por vuestra salud.

–Yo me he quedado en eso de que nos vas a invitar –recordó Íñigo. Seguro que hay truco. Si lo he entendido bien, nos invitas a 1+½+1/4+1/8+… tubos de cerveza.

–Trato hecho –se adelantó César. Ya he terminado esta y voy a por tu invitación a la barra. Espero que tengan suficientes vasos.

Al minuto, apareció con un par de cervezas, una en cada mano.

–Ese ‘Juanillo’ alumno tuyo, me ha timado. Me ha puesto dos cervezas y listo –se quejó César.

–En realidad, es lo justo –le desilusioné. Esa sucesión es una progresión geométrica de razón ½. La suma de todas las fracciones es exactamente uno, como a través de este gráfico se intuye, y mostré lo que había dibujado en una servilleta: 

Demostración gráfica de que la suma de todas las fracciones de una progresión geométrica de razón ½ es exactamente uno
Demostración gráfica de que la suma de todas las fracciones de una progresión geométrica de razón ½ es exactamente uno

–Muy bien –se animó José Luis. Ya que estás generoso, podrías haber incluido todas las fracciones de numerador uno y denominador cualquier número natural, es decir, 1+½+1/3+1/4+1/5+…

No lo veo bien para vuestra salud y mi economía. Aunque parece poco cambio, es sustancial. Si sumas las 10 primeras cantidades casi llegas a tres tubos. Con las 100 primeras obtienes algo más de cinco cervezas; si aumentas hasta 1.000, casi llegas a 7 y media y con 10.000 sumandos, casi a 10 cervezas.

–Yo lo veo bien, tampoco aumenta mucho –apreció Pablo. Con tiempo podríamos bebernos todas y tú pagarlas.

–No lo creo. Es una suma engañosa, aumenta poco a poco, muy lentamente, pero nunca se detiene y, con el tiempo, se hace tan grande como cualquier número que imagines.

–Mira, como las horas que me debe mi empresa –interrumpió José Luis.

En matemáticas, se dice que esta suma es divergente –proseguí mi explicación obviando los comentarios. Y no creáis que esto es nuevo. En 1360 el sabio medieval Nicole d’Oresme (hacia 1323-1382) se cree que fue el primero que dio una demostración de este hecho.

–Y seguro que tú te la sabes, pero nosotros no la queremos oír –zanjó César. Quitadle el bolígrafo para que no pueda volver a pintar en otra servilleta.

Entre risas y forcejeos, decidí rendirme en esta ocasión. Seguimos bebiendo, charlando y bromeando hasta que trajeron la cuenta.

–Dádsela al matemático y que nos digan a cuánto nos toca –sugirió Íñigo.

–Ahh, y recuerda aquello de ‘gafas que me estafas’–añadió César.

Después de varias cervezas, y con la presión de este nuevo reto a mi capacidad numérica, hice lo que siempre les prohíbo a mis alumnos. Saqué el móvil y realicé la sencilla división. Por supuesto sobró dinero para pagar la próxima en el siguiente bar.

Pedro J. Miana Departamento de Matemáticas. Instituto Universitario de investigación en Matemáticas y Aplicaciones. Universidad de Zaragoza

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