Tercer Milenio
En colaboración con ITA
Día Internacional de las matemáticas
Que no jueguen contigo usando las matemáticas: por qué el Día sin IVA no significa ahorrar un 21%
En honor al número Pi, el 14 de marzo es el Día Internacional de las Matemáticas. ¿Le damos la vuelta al lema de 2024: 'Jugando con las matemáticas'?
El 14 de marzo se celebra el Día Internacional de las Matemáticas. La elección de este día se debe a que en el mundo anglosajón el 14 de marzo se escribe 3.14, y estas tres cifras se corresponden con los tres primeros guarismos del número Pi. El lema elegido este año es 'Playing with maths' -Jugando con las matemáticas-.
La relación entre el juego y las matemáticas es clara. Podemos pensar en el ajedrez, puzles, loterías, sudokus, juegos de cartas, magia…, pero en este artículo queremos darle la vuelta al lema de este año e impedir que nadie juegue con nosotros usando las matemáticas como excusa. ¿A qué nos referimos exactamente? Aunque el tema es muy extenso, nos ceñiremos a ejemplos muy cercanos, de nuestro día a día, sobre todo en época de ofertas y rebajas.
Los porcentajes se explican en la escuela y los utilizamos prácticamente a diario. No obstante, la gran mayoría de la ciudadanía presenta problemas a la hora de calcularlos o de entenderlos. Hagamos un viaje hasta nuestra infancia para recordar la definición de porcentaje.
Para calcular el a% de una cantidad C es necesario hacer la siguiente operación: (C x a)/100, es decir, multiplicamos la cantidad C por el 'tanto' a y dividimos por 100. Hay porcentajes muy fáciles de calcular, como por ejemplo, el 50% de una cantidad, que es simplemente la mitad de dicha cantidad; o el 25%, que es la cuarta parte. Observad que el 100% de una cantidad es la propia cantidad.
El precio final de un producto rebajado
En rebajas, los porcentajes se utilizan para presentar descuentos, de modo que para hallar el precio final de un objeto rebajado necesitamos hacer dos operaciones: el cálculo de un porcentaje y una resta. ¿En qué orden? Veámoslo con un ejemplo.
Imaginemos que paseando hemos visto un bonito pantalón en un escaparate cuyo precio inicial de 46,95 euros está rebajado un 20% y queremos calcular el precio final antes de entrar a probárnoslo. Podríamos calcular primero cuántos euros son el descuento aplicando la fórmula del porcentaje, es decir, calculando el 20% de 46,95: (46,95x20)/100 = 9,39 euros. Así, el descuento del pantalón es de 9,39 euros, por lo que el precio final se obtiene restando el precio inicial menos el descuento, quedando en 46,95-9,39=37,56 euros. También llegaríamos al mismo resultado sin necesidad de calcular previamente el descuento. Pensemos: si nos descuentan un 20% del precio inicial es porque vamos a pagar un 80%. Por lo tanto, basta con calcular el 80% del precio inicial del pantalón: (46,95x80)/100 = 37,56 euros.
No nos ha convencido el precio y decidimos no entrar en la tienda. A los pocos metros, nos encontramos con unos conocidos y les contamos que un pantalón que inicialmente costaba 46,95 euros al final se quedaba en 37,56 euros y nos ha parecido muy caro. Nuestros amigos asienten con la cabeza y nos preguntan cuál era el porcentaje de descuento, pero ¡ay! se nos ha olvidado. ¿Cómo podríamos averiguarlo sabiendo solo estos dos datos? La clave de nuevo la tiene la fórmula que define el porcentaje pero ahora debemos despejar la incógnita a. Una simple división de la cantidad final entre la cantidad inicial nos dará un número decimal inferior a 1 y con eso tendremos la respuesta. Si hacemos 37,56/46,95 obtenemos como resultado 0,8, que tras multiplicarlo por 100 nos proporciona el 80%. Esto hace referencia al precio pagado. De nuevo, el descuento se obtiene restando 100 menos 80, llegando al 20% con el que iniciábamos el ejemplo.
Dominado el concepto básico, veamos algunos casos en los que debemos prestar una especial atención.
¿3x2 o segunda unidad al 70% de descuento?
Seguro que todos reconocen estos eslóganes publicitarios. Podríamos preguntarnos que cuál de ellos es más beneficioso para el consumidor. Dicho de otro modo, en cuál de las dos situaciones el porcentaje de descuento es mayor, o alternativamente, en cuál de ellas el porcentaje de pago es menor. Piénselo un momento antes de seguir leyendo. Para responder, no nos queda más remedio que hacer cuentas…
¿Qué significa 3x2? No me digan que 6…, en este contexto significa que usted se lleva tres productos iguales pero solo paga dos. Hay variantes, por ejemplo, que elija tres productos cualesquiera y solo pagará los dos de mayor importe. Para que resulte más sencillo, trataremos el primer caso: compramos tres objetos iguales y solo pagamos dos. Aplicando el mismo sistema que en la segunda parte del ejemplo del pantalón, el cociente 2/3 nos da la clave, pues si x es el precio de un objeto, 2x será el precio final y 3x el precio inicial. Esa división es 0,67 por lo que al final pagaremos un 67% del importe de los 3 objetos, o lo que es lo mismo, tenemos una rebaja del 33% sobre el importe inicial.
Para el segundo caso, la segunda unidad al 70% de descuento, lo que debemos hacer es tomar dos productos iguales y calcular su precio conjunto antes y después del descuento. Si cada producto vale x, el precio inicial son 2x. El precio final es x para el primer producto y 0,3x para el segundo, pues sobre él se aplica el 70% de descuento. Así que el precio final es x+0,3x = 1,3x. Llegados a este punto, hacemos la división del precio final entre el inicial quedando reducida la división a 1,3/2 = 0,65. Así pues, pagaremos un 65% del precio inicial de los dos objetos, obteniendo una rebaja del 35% sobre el importe inicial.
Si usted necesita comprar tres productos iguales, le va mejor la oferta 3x2; si con dos le sirve de momento, la segunda unidad al 70% es más económica, aunque para comprar el tercer producto tendrá que esperar nuevas ofertas.
El día sin IVA y el ahorro del 21%
El IVA de los productos electrónicos es del 21%. Existen campañas publicitarias del Día sin IVA en el que podemos presuponer que vamos a tener un ahorro del 21%, pero esto no es cierto. En este caso estamos identificando ahorro con descuento, así que calculemos el descuento que nos hacen en estos días 'sin IVA'. Supongamos un objeto cuyo precio sin IVA es x. Al aplicarle el 21% de IVA, su precio aumenta hasta 1,21x. Este valor, 1,21x es el que debemos considerar como precio inicial, el que vemos en el escaparate y sobre el que se aplica un misterioso descuento para obtener como precio final x, que era el precio sin IVA. Para hallar este descuento, dividimos el precio final x entre el inicial 1,21x, obteniendo: 1/1,21 = 0,8265, es decir, estamos pagando un 82,65% del valor del producto, por lo que el descuento ha sido del 17,35%.
60% de descuento + 10% adicional
Finalizamos el listado de ejemplos con este, muy habitual en los remates finales: al descuento inicial le añaden otro. ¿O no? Aunque la frase puede ser confusa y llevar a dos interpretaciones, lo habitual es que no consigamos un 70% de descuento (lo que sería si sumamos 60 y 10) sino algo menos, porque el 10% adicional no se hace sobre el precio inicial del producto, sino sobre el que surge como resultado del primer descuento. De este modo, en el primer descuento pagaremos el 40% del producto, es decir, 0,4x si asumimos que el producto vale x, y en el segundo el 90% de este 0,4x, obteniendo 0,36x. En ambos casos hemos aplicando directamente la primera fórmula del artículo para el cálculo de porcentajes. Por tanto, si pagamos el 36% del producto, al final el descuento obtenido ha sido del 64%, lejos del 70% soñado al sumar los porcentajes.
Como vemos, en muchas ocasiones hay quienes juegan con nosotros usando los números y las matemáticas. Tener una buena base matemática, comprendiendo y aplicando correctamente sus algoritmos básicos nos hace ser más libres y menos manipulables.
Raquel Villacampa IUMA, profesora de Geometría y Topología en la Universidad de Zaragoza
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