Es curioso que el día de San Valentín (día del amor) y el Día Internacional de las Matemáticas sean dos días 14 de dos meses consecutivos, febrero y marzo, respectivamente. A simple vista, no hay nada tan diferente como las matemáticas y el amor. Parece mera casualidad lo que une ambas disciplinas, al igual que la coincidencia en sus fechas de celebración. No obstante, existen numerosas intersecciones y nuestro objetivo en estas líneas es mostrar la profundidad de esta conexión.

Imaginemos por un momento que nos encontramos en ese momento de la vida en el que, tras sucesivas decepciones amorosas, nos preguntamos si existe alguien especial allí fuera. En 2010 el matemático Peter G. Backus, actualmente en la Universidad de Manchester, publicó un estudio con el revelador título ‘Why I dont have a girlfriend?’ (‘¿Por qué no tengo novia?’). 

En el artículo, Backus adapta una fórmula de 1961 de Frank Drake, del Observatorio Nacional de Radio Astronomía de Virginia Occidental, a su situación sentimental. La finalidad original de la fórmula de Drake era calcular el número de civilizaciones extraterrestres inteligentes que existen en nuestra galaxia y que fueran capaces de emitir señales de radio detectables desde la Tierra. El planteamiento de Drake era sencillo, basta estimar situaciones independientes que sean necesarias para la consecución final del objetivo. Así, se estimaba desde el número de estrellas con planetas; planetas que había desarrollado vida; planetas con vida que hayan llegado a vida inteligente o fracción de planetas con civilización suficientemente técnica para emitir señalas de radio. El cálculo final de Drake ofrecía 10 civilizaciones en toda nuestra galaxia.

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Backus actuó de igual forma. Comenzó con la población femenina de Londres, a la que iba poniendo restricciones, como rango de edad, estado civil, formación universitaria, gustos comunes, atracción mutua o compatibilidad de caracteres. Finalmente estimó en 26 las mujeres de todo Londres que cumplían sus requisitos. Contra todo pronóstico, Peter Backus se casó en 2013.

Una vez que hemos sido afortunados y hemos encontrado esa persona especial podemos declarar nuestro amor con originales afirmaciones matemáticas:

¿Hasta cuándo?

Iniciada nuestra relación ¿a quién no le gustaría saber hasta cuándo durará? Las ecuaciones y sistemas diferenciales son las herramientas adecuadas para modelizar procesos dinámicos que evolucionan en el tiempo, por ejemplo, nuestro amor o la atracción por la otra persona. Recordemos brevemente que los modelos son simplificaciones de la realidad y, a través de estos recursos, podemos predecir la evolución del sistema. 

Para fijar ideas, y con temor de resultar políticamente cuestionable, imaginemos una pareja de jóvenes enamorados en las siguientes circunstancias. Él se encuentra perdidamente enamorado de ella, y se enamora más cuanto más amor ella le da. Al contrario, ella es de carácter voluble y cuanto más la ama él, ella más ganas tiene de largarse y cuanto menos caso se le hace, más atractivo lo encuentra. Denotemos por x(t) el amor del chico respecto a la mujer, mientras que y(t) es la atracción que siente la mujer respecto al hombre en el momento de tiempo t. Así, el sistema de ecuaciones diferenciales que modeliza esta relación es la siguiente:

donde a es la fuerza del amor del hombre y b de repulsión de la mujer. En el caso de que a=b, la solución del sistema viene dada por las funciones

donde hemos considerado las condiciones iniciales del enamoramiento x(0)=y(0)=1. Es destacable el comportamiento oscilatorio de los dos miembros de la pareja.

Pero, aunque no queramos llegar, tal vez nuestro cuento feliz acabe en ruptura. En las últimas décadas se han buscado modelos matemáticos que predigan si una pareja acabará separada.

En 1992, el matemático de la Universidad de Washington James D. Murray, en colaboración con psicólogos y sociólogos, iniciaron un estudio de largo recorrido sobre 700 parejas recién casadas del Estado de Washington. El objetivo era predecir si en diez años iban a seguir feliz o infelizmente casadas. 

En quince minutos de conversación sobre asuntos como la familia, el trabajo, el dinero, el amor o las tareas del hogar se grababa y cuantificaba las interacciones positivas y negativas de cada miembro de la pareja: afecto +4, disgusto -3, quejas -1, desprecio -4, entre otras. Posteriormente se presenta la evolución de las puntuaciones acumuladas en un gráfico ‘Dow-Jones’ similar a los utilizados para mostrar la evolución económica de las empresas. 

Si el cociente de las interacciones entre los dos miembros de la pareja estaba entre 1 y 5, el modelo predecía que continuarían casados. Por debajo de 1, se concluía que acabarían divorciados. 

Cada uno o dos años y hasta 2004 cada pareja rellenaba un breve cuestionario sobre su situación marital. Al final del estudio, el modelo había acertado sus predicciones en un 94%.

Pero el amor es mucho más que números, fórmulas, porcentajes, ecuaciones o frases más o menos ingeniosas. Tiene ese aspecto mágico, sobrenatural y maravilloso que eleva nuestra condición humana y nos hace entregar lo mejor de nosotros mismos. Disfruten del amor y por supuesto de las matemáticas, separadas o juntas, tal y como afirma la excelente divulgadora y matemática británica Hannah Fry: "Las matemáticas del amor muestran nuestro amor por las matemáticas".

Pedro J. Miana Departamento de Matemáticas, IUMA & Facultad de Ciencias, Unizar

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