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Caos y orden matemático en la nieve

La belleza y fragilidad del copo de nieve esconde un universo matemático donde caos y orden conviven en perfecta armonía.

Recreación artística de un copo de Koch. Se trata de una curva fractal que vemos en el perfil de esta figura.
Recreación artística de un copo de Koch. Se trata de una curva fractal que vemos en el perfil de esta figura.
Solkoll / Wikimedia

Y Filomena llegó –pensaba ausente mientras veía caer la nieve tras la ventana de la cocina. Esta vez los meteorólogos lo habían avisado y habían acertado de pleno. Y no era una empresa fácil. Una manera de estudiar matemáticamente un fenómeno es diseñar tu propio fenómeno ‘de juguete’, llamado modelo, y que puedas controlar. Si cambia con el tiempo, como en la meteorología, utilizaremos ecuaciones diferenciales. Son como las ecuaciones del colegio, pero las incógnitas, las famosas x, y, z, ya no son números, sino funciones del tiempo, como la posición, la temperatura o la humedad. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales dependen de las llamadas condiciones iniciales, valores iniciales de las funciones que puedo medir en un momento dado.

Durante la Segunda Guerra Mundial, el matemático estadounidense Edward Lorenz (1917-2008) sirvió a su país como meteorólogo, y al finalizar, siguió en este campo doctorándose en el Massachusetts Institute of Technology, MIT. Lorenz se preguntaba por qué, si se conocían las ecuaciones y las condiciones iniciales, no se conseguía predecir el tiempo atmosférico que iba a hacer dentro de tres días con una fiabilidad aceptable.

En 1963, decidió simplificar al máximo las ecuaciones y planteó su ‘modelo de juguete’, hoy llamado modelo de Lorentz y que conservaba las propiedades más importantes del real, en particular la no linealidad de las ecuaciones. No podía resolverlo analíticamente, así que buscó soluciones numéricas con ayuda de uno de los primeros ordenadores personales.

Casi por casualidad, un día decidió confirmar algunos de los cálculos realizados. Esta vez introdujo las condiciones iniciales con un levísimo redondeo, tomando solo tres cifras decimales en vez de las cinco que inicialmente utilizó. Al volver de tomar una taza de café, encontró cambios drásticos en los resultados finales. Evidentemente pensó que la computadora se había estropeado, pero antes de llamar a los técnicos, decidió darle una segunda oportunidad. Al volver a introducir las condiciones iniciales, se dio cuenta que el levísimo redondeo realizado, unido a la especial naturaleza de las ecuaciones, era el causante de la nueva situación descrita. Dos estados iniciales muy similares podían evolucionar de modo radicalmente distinto, como dos hermanos gemelos.

Había sido descubierto el comportamiento caótico de las matemáticas y de la realidad que se sintetizó en el llamado ‘efecto mariposa’. En un congreso celebrado en 1972 pronunció su famosa metáfora: "El aleteo de una mariposa en Brasil puede ocasionar un tornado en Texas".

Ha dejado de nevar –gritó Laura, disolviendo mis pensamientos. Ya podemos bajar a la calle.

Fue entonces cuando el caos de Lorenz dirigió el movimiento en mi casa. Agitados por la novedad caída del cielo, los niños corrían de una parte a otra arrojando ropa al suelo, abriendo armarios, para sacar otra, y corriendo por todos los lados con el objetivo de ser los primeros en pisar la alfombra blanca que cubría la ciudad.

Hacía décadas que no se contemplaba este espectáculo de la naturaleza justo en la puerta de casa. Una luz mágica lo envolvía todo. Una bola inesperada me golpeó en la cabeza, y me hizo volver a la realidad que íbamos a disfrutar en las próximas horas. Al girarme, Pablo se reía y corría a unos escasos metros de mí.

Varios grupos de niños y padres, ocultos tras gorros, mascarillas y guantes, poblaban ya el parque. Reconocimos a nuestros vecinos rodando una gran bola por el suelo. Al empujar la bola desde su parte superior, la fuerza de rozamiento produce rotación que, unida al propio peso de la bola, consigue trasladar y adherir más nieve a la bola, aumenta de tamaño y adquiere una forma cilíndrica. Cualquier niño sabe que para que la bola sea esférica hay que variar la dirección de traslación, así las bases del cilindro se redondean y acaba pareciéndose más o menos a una esfera. Como curioso resultado se trazan caminos erráticos libres de nieve.

Al acercarnos a ellos, nos invitaron a hacer el muñeco de nieve juntos. Uno de los niños preguntó sobre las dimensiones de cada una de las tres bolas para hacer el muñeco. En este caso, no hay proporciones escritas sobre los tamaños de cada una de las bolas para conseguir el muñeco de nieve perfecto. Aquí el diseño e incluso la forma es libre: la cabeza del famosísimo Olaf no es esférica. Pero lo que sin duda no puede faltar son una zanahoria de nariz, unas piedras de ojos y las ramas de brazos.

Decidimos buscar un desnivel para tirarnos con el trineo. En nuestro camino, la tormenta había dejado triángulos rectángulos de nieve y de altura variable sobre un enrejado metálico. La nieve crujía bajo nuestras botas. Había enormes mantos blancos, tan puros que te tentaban a lanzarte sobre ellos. Y así lo hicimos, dejándonos caer de espaldas. Al mover brazos y pies, describíamos sectores circulares y unos bonitos ángeles de nieve quedaron tras nuestra marcha.

La nieve sabe hacer hexágonos 

No fuimos los primeros en llegar a esa ladera del parque. Sin saber cálculo diferencial en varias variables, Pablo y Laura eligieron la dirección en la que el gradiente proporcionaba la mayor velocidad a su trineo. Tras varios descensos, optaron por abandonar el trineo y bajar rodando por la ladera. Al pararse, Laura miró fijamente a un cristal sobre la nieve.

–Mira, papá: la nieve sabe hacer hexágonos –dijo Laura señalando copos de nieve sobre el cristal.

–Sí, así es. Has visto lo mismo que el matemático Johannes Kepler (1571-1630). Un día del invierno de 1611, y mientras caía una nevada como esta en Praga, se le ocurrió que el mejor regalo para su protector era dedicarle un ensayo sobre matemáticas y nieve, ‘Strena Seu De Nive Sexangula’ (‘Un regalo de Año Nuevo de nieve hexagonal’). No fue el único genio que se asombró con la nieve. René Descartes (1596-1650) en su obra ‘Meteoros’, de 1637, escribe: "Eran pequeñas placas de hielo, muy planas, muy pulidas, muy transparentes, con un espesor como el de una hoja de papel algo gruesa, [...] pero tan perfectamente talladas en hexágonos, con los seis lados tan rectos y los seis ángulos tan iguales, que para el hombre sería imposible hacer algo tan exacto". Con ayuda de un microscopio, el fotógrafo Wilson Bentley, conocido como el Hombre Copo de Nieve, llegó a fotografiar, desde 1885 y durante 45 años, más de 5.000 copos de nieve, sin que entre ellos no hubiera dos idénticos y donde reinaba la simetría hexagonal.

Déjame tu móvil para que pueda hacerles fotos –me pidió Laura mientras extendía el brazo.

Con cara de asombro y temiendo que mi móvil nuevo acabara en la nieve, les propuse.

–Os puedo enseñar a dibujar un copo de nieve mágico, el copo de nieve de Koch. Por mucho que dibujemos, nunca lo terminaremos. Medio confundidos, medio intrigados, y antes que se revelaran, iniciamos la retirada hacia el calor del hogar.

Pedro J. Miana Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad de Zaragoza

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