Tercer Milenio
En colaboración con ITA
Aquí hay ciencia
Así guarda un matemático la distancia de seguridad en la playa
¿Con qué figura geométrica marcarías en la arena tu 'territorio' familiar?
Al llegar a la playa este año, algo nuevo nos llamó la atención. Algunos bañistas habían trazado una figura geométrica en la arena alrededor de su sombrilla. A lo largo de toda la playa había cuadrados, círculos y hasta una pareja de enamorados había dibujado un corazón gigante. Marcaban la distancia de seguridad y, como segunda consecuencia, impedían molestas salpicaduras de arena de los transeúntes.
Buscamos un lugar aislado donde establecernos. Mis hijos, Laura y Pablo, me preguntaron qué figura íbamos a hacer nosotros. Les propuse un hexágono, el polígono de las abejas. Las abejas lo adoptan, ya que con una mínima cantidad de materiales consiguen un espacio interior máximo. En nuestro caso, por arena no sería. Lo trazamos bastante bien y se quedaron tan orgullosos de su hazaña que por supuesto quisieron repetirlo. Les animé a utilizar los lados del ya trazado y a dibujar otros seis hexágonos alrededor del primero. Por suerte no había mucha gente y los hicieron sin molestar.
- Si, la verdad, es que se puede. Además somos afortunados, solo se puede con tres clases de polígonos regulares, triángulos, cuadrados y hexágonos cubrir toda la playa. Son las llamadas teselaciones regulares– le contesté.
- Los triángulos podían servir si viniéramos solos a la playa, los cuadrados si venimos en pareja, y los hexágonos si venimos de cuatro en cuatro, como nosotros- añadió Pablo.
En realidad, a la playa van grupos de una, dos o cuatro personas, o familias numerosas, grupos de amigos o todo un equipo de baloncesto. Para todos ellos, tendríamos que ser capaces de encajar polígonos regulares de diferentes números de lados sin dejar espacio libre. Es lo que se denominan teselaciones semiregulares y en realidad solamente hay 8 posibles combinaciones. Encontrarlas es un bonito ejercicio de geometría y de hacer unas pocas cuentas sencillas. El ángulo entre dos lados de un polígono regular de n lados es
Por ejemplo, si consideramos un dodecágono (n=12) el ángulo entre dos de sus lados es 150º. Una primera opción sería juntar un segundo dodecágono, tendremos 300º y hasta llegar a los 360º de un ángulo completo, podremos añadir un triángulo equilátero de ángulo 60º. Como se ve en la figura, la segunda opción con un dodecágono de partida involucra un hexágono (120º) y un cuadrado (90º) ya que 150º+120º+90º=360º.
Las 3 teselaciones regulares, las 8 teselaciones semiregulares y otras de gran belleza fueron ya descritas por Johannes Kepler (1571-1630) en su libro 'Harmonices Mundi' (1619) para explicar la armonía del universo a través de términos geométricos.
- Y la hay- le respondí.
Se puede descomponer la playa en polígonos (no regulares) que contengan la parte de la playa más cercana a cada sombrilla. Estos polígonos se llaman a menudo celdas de Voronói, en homenaje al matemático ucraniano Gueorgui Voronói (1868-1908) introducidas por este. Actualmente se utilizan en múltiples áreas de la ciencia, desde la meteorología hasta la física de la materia condensada, incluyendo el tratamiento de tumores. Se aplican en el diseño de texturas en gráficos de películas, videojuegos y anuncios publicitarios o en el estudio del emplazamiento de un nuevo supermercado en función de los ya existentes.
Laura y Pablo ya habían desconectado de la conversación hacia unos minutos. Corrieron al agua, pisando los polígonos que ellos mismos habían trazado. Despreocupándose de la distancia, las rectas y las reglas, ahora se centraban en las curvas de las olas, sin saberlo, en otras nuevas matemáticas.
Pedro J. Miana Departamento de Matemáticas. Instituto Universitario de investigación en Matemáticas y Aplicaciones. Universidad de Zaragoza
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