Tarde del 31 de diciembre. Una imagen llega a mi teléfono conteniendo el número 2022 y fórmulas matemáticas. ¿Será una felicitación de Año Nuevo o la profecía del fin de la pandemia hecha por Nostradamus?

Ya desde la mañana del 31 de diciembre y continuando durante los primeros días del mes de enero que acaba de terminar, a todos nos llegan decenas de felicitaciones y buenos deseos para el año nuevo que acaba de comenzar. En los últimos años, a las felicitaciones tradicionales de prosperidad y salud, se han unido otras de contenido matemático. Estas explotan las propiedades (algunas de ellas sorprendentes) del número que designa al año nuevo.

Me preparo mentalmente para la avalancha de mensajes de la última tarde del año. Siempre presto especial atención al grupo formado por mis compañeros de la promoción de la licenciatura de Matemáticas 1991-1995 de la Universidad de Zaragoza. En cierta forma, te hace sentir que no estás solo en el universo, no eres el único que disfruta con las matemáticas. En este grupo, felicitamos el año nuevo compartiendo mensajes matemáticos que hemos recibido. Algunos son increíbles y, como dice mi compañera Ruth, "¿a quién se le ocurre ponerse a demostrar todo esto?". Merece la pena detenerse unas líneas en las extraordinarias propiedades del número que durante los próximos meses vamos a repetir insistentemente.

Ante un número entero, como es el 2022, lo primero es descomponerlo en factores primos, 2022= 2 x 3 x 337. Este tipo de números, aquellos que son productos de tres números primos diferentes, como el 2022, se les llama números esfénicos, del griego ‘sphen’, ‘cuña’. Los que son productos de dos primos diferentes se llaman semiprimos o biprimos. Los esfénicos tipo tienen 8 divisores, mientras que los biprimos tiene 4 divisores y los primos, solo 2.

Poco educado, pero muy alegre

La descomposición anterior en factores primos nos permite obtener información extra de nuestro objeto de estudio. Por ejemplo, lo cortés o educado que es este número. Se dice que un número es cortés (‘polite number’ en inglés) si se puede poner como suma de dos números enteros consecutivos. Los únicos números no corteses (‘impolite’) son las potencias de 2. Mediante una fórmula que involucra el número de factores primos (diferentes a 2), se calcula el grado de cortesía de cualquier número. En nuestro caso, su ‘cortesía’ no es muy alta, es igual a 3, e indica el número de posibles descomposiciones como suma de números consecutivos. Así. 2022 se puede escribir como suma de números consecutivos de las siguientes tres formas:

2022 = 673 + 674 + 675,

2022 = 504 + 505 + 506 + 507,

2022 = 163 + 164 + 165 + 166 + 167+ 168 + 169 + 170 + 171 + 172 + 173 + 174.

No será muy cortés, pero en cambio es un número muy alegre. 2022 es un número de Harshad (en sánscrito significa ‘gran alegría’), ya que es divisible por la suma de sus cifras, en este caso, seis. Pero como el cociente de 2022 entre 6 da como resultado un número primo, 337, tercer primo de la descomposición, el número 2022 pertenece a la clase de los llamados números de Moran (en honor al matemático Willian Moran).

2022 es un número interprimo, esto es, está a igual distancia de sus primos más cercanos, que son el 2017 y el 2027. Es por tanto la media aritmética de estos dos números primos. Curiosamente, también se puede escribir como suma de dos primos consecutivos 2022 = 1009 + 1013. Por tanto, cumple la llamada conjetura de Golbach, problema abierto en matemáticas desde 1742, que afirma que cualquier número par se puede escribir como suma de dos números primos.

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Otras amenidades matemáticas consisten en obtener el número 2022 empleando todas las cifras del 0 al 9 y con las operaciones matemáticas necesarias. Así, nos llegaron las fórmulas:

2022= 9 x 8 x (7+6)+ 543 x 2 x 1,

2022= 0! - 1! + 2! - 3! - 4!! - 5! + 6! + 7!! + 8!! + 9!!

La última de ellas, debido al matemático hindú Srinivasa Raghava. El factorial de un número (escrito con el signo !) es el producto de todos los números desde ese número hasta el uno, así 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24; en el caso de 0! = 1. El doble factorial (!!) es el producto desde el número hasta el 2 o el 1, saltando dos unidades entre los factores, así 8!! = 8 x 6 x 4 x 2 = 384.

Pero si un matemático y su teorema son conocidos a pie de calle, ese es Pitágoras y su identidad: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (lado mayor) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (lados menores). Las longitudes de los dos catetos y de la hipotenusa se llaman terna pitagórica. Se puede construir un único triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida 2022, y este es,

2022²= 1050²+1728².

Pero también se puede colocar al 2022 como cateto en el triángulo rectángulo, consiguiendo así cuatros ternas pitagóricas más:

3370² = 2022² + 2696²,

340710² = 2022² + 340704²,

113578² = 2022² + 113560²,

1022122² = 2022² + 1022120².

P. J. M.

El primer día después de las vacaciones navideñas, observé que en la cartelera de anuncios del Departamento de Matemáticas alguien (el ingenioso profesor José Garay) había colgado esta felicitación matemática. No se necesita decir más. Feliz x.

Pedro J. Miana Departamento de Matemáticas, IUMA & Facultad de Ciencias, Universidad de Zaragoza

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