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Matemáticas contigo

Con seguridad matemática

Las matemáticas colaboran en el diseño de sistemas seguros para la economía, las comunicaciones o incluso la salud. Gracias a ellas, podemos sentirnos seguros.

Billete dedicado a Alan Turing.
Billete dedicado a Alan Turing.
Bank of England

Al volver a la toalla, mi hijo Pablo tenía mi móvil en la mano. Su mirada le delataba y su hermana Laura miraba despistada en otra dirección. Habían intentado encenderlo. Al no conocer el PIN (acrónimo en inglés de Número de Identificación Personal), lo habían bloqueado después de tres intentos fallidos. Todos sabemos lo que viene a continuación, volver a casa, buscar hasta encontrar el sobre del envío de la tarjeta, e ingresar un nuevo número, el PUK (acrónimo en inglés de Clave de Desbloqueo Personal). Este número tiene 8 cifras y nosotros, 10 intentos antes de bloquear completamente la tarjeta y dejar el móvil totalmente inservible.

A veces, uno se desespera con tantas medidas de seguridad. ¿Realmente son necesarias? Al ser el PIN un código de 4 dígitos, en el rango de 0000 al 9999, hay 10.000 códigos diferentes que el usuario puede elegir. La probabilidad de acertar sin conocerla es insignificante, podríamos pensar, y por tanto nuestra seguridad sería casi completa. Sin embargo, no es así.

Existen especialistas en vulnerar esa seguridad, y conseguir el código PIN en unos segundos. Un ejemplo llamativo ocurrió en 2002. Dos estudiantes de doctorado de la Universidad de Cambridge, Piotr Zielinski y Mike Bond, descubrieron un error en la seguridad en el sistema de generación de los códigos PIN del ordenador IBM 3624, responsables de la encriptación de millones de tarjetas de crédito. Idearon un sistema, llamado tabla de decimalización, que permitia determinar el PIN de una tarjeta en un promedio de 15 intentos en vez de los 5.000 intentos en un sistema perfecto. Los propios autores cifran entre 7.200 y 2,1 millones de libras lo que un hacker podría conseguir en un ataque de 30 minutos. Después de comunicar a la empresa IBM su descubrimiento, la citada tabla de decimalización fue publicada en abierto en la colección Technical Report del Computer Laboratory de la Universidad de Cambridge.

Sin móvil operativo, pensé un pequeño juego para entretener a Pablo y Laura durante un rato. Escribí las veintisiete letras del alfabeto español: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z.

- Ahora voy a escribir un mensaje secreto y seguro que no lo adivináis –les reté.

- Si es secreto, entonces no nos lo vas a enseñar y no podremos saber qué es –observó Laura.

- Es secreto y os lo voy a enseñar. Tenéis que pensar para poder descifrarlo –le respondí. El mensaje secreto es: khñdgr.

- No se entiende nada -protestó Laura al verlo.

- Al menos tiene 6 letras –añadió Pablo.

- Os daré una pista. He movido las letras siguiendo siempre la misma operación –les dije para animarles.

- Si muevo la a un lugar se convierte en la b. Para descifrar la palabra tendremos que mover hacia atrás las letras que tenemos. Así khñdgr se convierte en… jgncfq -gritó Laura desilusionada.

- No se entiende nada -protestó Pablo. Nos hemos debido de equivocar.

- Está bien hecho. Lo que pasa es que yo no he dicho que haya movido las letras solo una vez. El salto puede ser más largo de dos o de tres de longitud –intervine para ponerles sobre la pista.

- Si es de dos el salto, entonces obtenemos… ifmbep . Otra vez nada –esta vez Laura parecía querer abandonar.

- Bueno, la última vez que lo hacemos –avisó Pablo. Por cierto, podemos utilizar esta palabra nueva obtenida para mover cada letra solo una vez de posición, en vez de retroceder tres posiciones las letras de la palabra inicial.

- Bien pensado, Pablo. Adelante, ya casi lo lográis –añadí ánimos a la situación.

- Entonces obtenemos... helado – se alegró Laura, sonriendo abiertamente.

- Muy bien, os habéis ganado un helado por descifrar el mensaje.

Cifrar mensajes

La encriptación de códigos y mensajes ha estado muy ligada a las matemáticas. Todo el mundo tiene más o menos una idea de lo que es la criptografía. La idea es cifrar un mensaje de alguna manera, de forma que sea ilegible para el que no sepa descifrarlo. Para ello necesitamos dos elementos básicos: un algoritmo de cifrado y una clave. El ejemplo anterior es ya clásico en el sentido de que se utilizaba en la antigua Roma. Se suele denominar El cifrado César ya que el célebre militar y político Cayo Julio César lo usó durante su conquista de la Galia, transmitiendo a sus oficiales muchos de sus mensajes protegidos mediante este sistema. En este caso, el algoritmo de cifrado es 'realizar una traslación de letras', mientras que la clave es el número 3.

También es muy conocida la labor del matemático inglés Alan Turing, quien durante la II Guerra Mundial trabajó en descifrar los códigos nazis, principalmente los creados por la máquina Enigma. Se ha estimado que su trabajo acortó la duración de esta guerra entre dos y cuatro años. Recientemente, el Banco de Inglaterra le ha homenajeado dedicándole un billete de 50 libras. En esta misma tarea de 'romper Enigma' se emplearon polacos, franceses e incluso españoles, cuya labor ha empezado a descubrirse en los últimos años.

Pero las matemáticas aparecen en más facetas relacionadas con la seguridad. Por supuesto se encuentran en los notables logros marítimos realizados durante el Siglo de Oro español. La investigación operativa, asignatura que se estudia en los grados de Matemáticas, debe su nombre a la investigación en operaciones militares ocurrida durante la II Guerra Mundial. La pasada y actual carrera espacial ha sido posible gracias a un avance extraordinario en numerosos aspectos matemáticos, algunos de ellos recogidos en la película 'Figuras Ocultas' (2016).

En las históricas circunstancias que nos ha tocado vivir, las matemáticas han vuelto a demostrar su importancia para entender, modelar y predecir (con más o menos acierto) la evolución de la pandemia de covid-19. Con la iniciativa Acción Matemática contra el Coronavirus, promovida por el Comité Español de Matemáticas, CEMat, se pretende analizar los movimientos de la población, la posible incidencia de la enfermedad y el impacto de la crisis en las fianzas, entre otros aspectos.

Algunos de estos temas serán tratados en el curso de verano 'Matemáticas para tu defensa' que se celebrará los días 2 y 3 de septiembre en el Planetario de Aragón en Walqa (Huesca). Esta iniciativa cuenta con el apoyo de la Secretaría General de Política de Defensa del Ministerio de Defensa y del Instituto Universitario de Matemáticas y Aplicaciones (IUMA) de la Universidad de Zaragoza.

Pedro J. Miana Departamento de Matemáticas, IUMA & Facultad de Ciencias, Universidad de Zaragoza

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