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Sociedad

Tercer Milenio

Ciencia en casa

Desafío matemático: el problema de los tres servicios

Dibuja en una hoja de papel tres puntos en una fila y tres cruces en una fila superior. Une cada punto con las tres cruces sin que las líneas se corten.

Une cada casa con el agua, el gas y la electricidad sin que las líneas se corten
Une cada casa con el agua, el gas y la electricidad sin que las líneas se corten

Ayer acaba de sentarme en la toalla para leer el último capítulo de la novela de intriga cuando justo mi hijo Pablo me reclamó: “Papá quiero jugar contigo”. Después de varios meses de confinamiento y ya casi medio verano transcurrido, muchos juegos no me quedan. Pero recordé el siguiente que me contaron hace más de 30 años.

Le dije, “dibuja en una hoja de papel tres puntos en una fila y tres cruces en una fila superior. Une cada punto con las tres cruces sin que las líneas se corten”. Pablo entendió el desafío. Para añadirle una motivación extra, le ofrecí un helado de recompensa cuando lo lograse.

Media hora más tarde ya había acabado la novela,  mientras que el pobre Pablo había cubierto la hoja de papel con varias decenas de intentos. Más enfadado por no lograrlo que por perder el helado, luchaba con desesperación por conseguirlo. Finalmente le pregunté “¿te rindes?”. Con una sonrisa en sus ojos, me dio permiso para explicarle el enigma.

Este problema se conoce en matemáticas como el Problema de los Tres Servicios. Cada punto podría representar una casa y cada cruz un servicio (por ejemplo, agua, gas y electricidad). Nuestro objetivo es llevar a cada casa los tres servicios con la condición que no se crucen sus zanjas. Este problema es antiguo, muy antiguo. En 1913 el gran creador de puzzles y juegos de ingenios Henry Dudeney presenta la primera referencia conocida con el título 'Water, Gas and Electricity' en la revista 'The Strand Magazine' (la misma donde se publicaban las aventuras de Sherlock Holmes). En el texto, el propio autor reconoce que es un problema mucho más antiguo que el gas o la electricidad.

'Water, Gas and Electricity' en la revista 'The Strand Magazine'
'Water, Gas and Electricity' en la revista 'The Strand Magazine'

Y no, no tiene solución. Por más que lo intentes, nunca lograrás tu objetivo. Está demostrado matemáticamente que en el plano, sobre un papel, no hay ninguna solución. La primera demostración se dio en 1905 y utilizaba las llamadas curvas de Jordan. Otra demostración alternativa fue dada por el matemático Kazimierz Kuratowski y utiliza la teoría de grafos. Las casas y los servicios son los vértices del grafo, mientras que las líneas que los unen, las aristas. Los grafos planos, los que se pueden representarse en un plano, tienen propiedades que el nuestro en concreto no tiene.

En el plano, sobre un papel, no hay ninguna solución
En el plano, sobre un papel, no hay ninguna solución

¿Pero y si cambiamos el espacio de trabajo? Supongamos que ahora somos hormigas que vivimos en la superficie de un salvavidas o en un flotador tipo rueda neumática. Esta figura matemática se llama toro y, en este caso, encontraremos solución. Misterios y belleza de las matemáticas.

Imagina que el problema se traslada a un flotador (un toro en términos matemáticos)
Imagina que el problema se traslada a un flotador (un toro en términos matemáticos)

Pablo lo entendió inmediatamente. Cogió el flotador de su hermana Laura y me presentó una solución. Finalmente se había ganado su helado, al que tuve que añadir un segundo helado para Laura y recompensarla por la nueva ilustración matemática que lucía su flotador.

Pedro J. Miana Departamento de Matemáticas. Instituto Universitario de investigación en Matemáticas y Aplicaciones. Universidad de Zaragoza

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