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Sociedad

Tercer Milenio

Premio Princesa de Asturias de Investigación Científica y Técnica 2020

Los matemáticos de las imágenes. Descomponiendo y recomponiendo el mundo

Las teorías matemáticas desarrolladas por Meyer, Daubechies, Tao y Candès han permitido la compresión de vídeos e imágenes digitales. Premio Princesa de Asturias de Investigación Científica y Técnica 2020, ponen de manifiesto el papel unificador y transversal de las matemáticas en diferentes disciplinas científicas e ingenierías, con soluciones prácticas aplicables en múltiples ámbitos. Las resonancias magnéticas, el telescopio Hubble y los detectores de ondas gravitacionales aplican su ‘teoría wavelet’. Todo un ejemplo de la utilidad del trabajo en matemáticas puras.

Los matemáticos Yves Meyer (francés), Ingrid Daubechies (belga y estadounidense), Terence Tao (australiano y estadounidense) y Emmanuel Candès (francés).
Los matemáticos Yves Meyer (francés), Ingrid Daubechies (belga y estadounidense), Terence Tao (australiano y estadounidense) y Emmanuel Candès (francés).
ICMAT-UCLA / EP

¿Se han preguntado alguna vez por qué las fotografías del Whatsapp, Instagram u otras redes se ven tan bien en la pantalla y tan mal en el papel? El rápido avance tecnológico hace que las cámaras de nuestros dispositivos realicen fotografías cada vez de más alta resolución. Si queremos enviarlas consumiendo pocos datos y espacio al receptor es necesario comprimirlas. Comprimir un fichero requiere de una buena técnica y existen varios métodos para hacerlo. Uno de los más eficientes es el llamado JPEG 2000. Permite comprimir sin pérdida de resolución, seleccionar una zona para verla en más alta calidad (imágenes médicas) o minimizar el ‘ruido’ (perturbaciones aleatorias) que se producen en la transmisión o descarga.

Esta ‘magia’ del sistema JPEG 2000 (obviamente creado en el año 2000) radica en su algoritmo de compresión. Utiliza las llamadas funciones ‘wavelets’ u ‘ondículas’, que permiten ‘atomizar’ señales complejas hasta hacerlas numéricas, manejables y altamente precisas.

La teoría de ondículas y la detección comprimida han contribuido al procesamiento matemático de señales

El origen de las ‘ondelettes’ (originalmente introducidas en francés) parte de los estudios en ondas sísmicas del geofísico Jean Moret, quien contactó con el físico teórico de Marsella, Alex Grossman. Este proporcionó fundamento matemático a las ideas de Moret y publicaron en 1984 el artículo fundacional de la teoría. En la primavera de 1985, el artículo llegó, a través de un compañero, a manos del especialista en análisis armónico Yves Meyer mientras ambos esperaban en la cola de la fotocopiadora. Meyer es un espíritu inquieto, un auténtico nómada institucional e intelectualmente; afirma que "si alguien llega a ser demasiado experto en un campo, entonces, debe abandonarlo". Inmediatamente reconoció la gran potencia de la teoría y su conexión con la teoría de los operadores singulares de Calderon, que conocía perfectamente. Tomó el primer tren hacia Marsella y pasó varios días discutiendo con los autores y con una joven física belga, Ingrid Daubechies, que se encontraba de visita en el Centro de Física Teórica de Marsella. Ocho años más tarde, en el congreso ‘Wavelets and Applications’, celebrado en Toulouse en junio de 1992, Meyer recordaba aquellos primeros días en los que sospechaban que "las wavelets de Moret podían resolver la mayoría de los problemas del universo".

Un niño superdotado

Justo cuando Meyer empezaba a interesarse por la teoría de las ondículas, Terence Tao, un niño superdotado de 10 años, conocía a la leyenda y matemático errante Paul Erdös. La producción científica de Tao, que recibió la medalla Fields (el equivalente al Nobel en Matemáticas) en 2006, ha sido espectacular, tanto por la variedad de problemas tratados, como por la profundidad de los resultados alcanzados. Tal es la reputación actual de Tao, que según cuenta Charles Fefferman, compañero en la Universidad de Princeton, se está convirtiendo en un ‘Sr. Arreglatodo’ (‘Mr. Fix.-it’, en inglés) cuando un matemático está atrapado en un problema complejo. Y algo así sucedió en febrero de 2004.

El destino o la casualidad hizo que los hijos de Emmanuel Candès, ingeniero francés, compartieran guardería con los hijos de Terence Tao en California. Candès le contó a Tao el problema de imágenes en el que estaba trabajando.

A partir de una imagen bien conocida (el fantasma de Shepp-Logan), la había corrompido añadiendo otras imágenes borrosas, como ocurre por ejemplo en una resonancia magnética cuando el paciente se mueve o no se dedica todo el tiempo necesario. Al aplicar una técnica matemática del análisis armónico, la ‘minimización L1’, encontró que recuperaba la imagen inicial. Probó con otras imágenes y modificaciones, obteniendo resultado positivo en todos los casos. Sorpresa mayúscula.

Una teoría matemática oculta

Al compartirlo con Tao, este tampoco lo creía. Con pocos datos iniciales, era posible reconstruir la imagen original. Tao presentó contraejemplos, resistiendo el método de Candés. Allí detrás existía una teoría matemática oculta, a punto de ser descubierta, la teoría denominada posteriormente de detección comprimida (‘compressed sensing’) o de muestreo reducido (‘compressed sampling’).

Esta teoría permite la reconstrucción eficaz de datos dispersos basados en muy pocas mediciones. Así, la reducción del número de muestras necesarias supone en el ámbito médico una exploración más rápida y menos invasiva del paciente. En la actualidad los escáneres usados en técnicas de diagnóstico por imagen como la resonancia magnética llevan implementada esta herramienta matemática, lo que acorta el tiempo de escaneo o exposición del paciente para después reconstruir la imagen sin pérdida de calidad.

Otras imágenes de baja calidad de otros ámbitos también pueden ser reconstruidas eficazmente mediante este sistema. La técnica de detección comprimida ha contribuido significativamente al procesamiento de señales, al permitir reconstruir la versión comprimida de una señal usando un pequeño número de mediciones lineales. Esto se traduce en una menor frecuencia de muestreo, menor cantidad de datos, menor uso de los recursos de almacenaje, menor requerimiento de velocidad de los convertidores analógico-digitales y menor tiempo requerido para la transmisión de los datos.

Del diagnóstico de tumores a la detección de ondas gravitacionales

Durante más de 35 años se ha ido desarrollando la teoría de las ondículas con un sinfín de aplicaciones. En 1987, Ingrid Daubechies introdujo las ondículas ortogonales que, años más tarde, se emplearon en el JPEG 2000. Más recientemente, desde 2008, Daubechies ha aplicado la potencia de la teoría wavelet para determinar la autoría de cuadros inicialmente atribuidos al pincel de Vincent van Gogh. En uno de estos estudios ha descubierto el rostro de un campesino oculto en el cuadro ‘Mancha de hierba’ (1887) con esta técnica cero invasiva. 

Especialmente relevante es su aplicación en el tratamiento de imágenes en medicina, donde ha revolucionado el diagnóstico de tumores. En astrofísica se aplica para el estudio en detalle de las imágenes del telescopio espacial Hubble, en la detección de las ondas gravitacionales por parte de los observatorios LIGO y Virgo, resultado de la colisión de dos agujeros negros u otros objetos estelares. En nuestro planeta se aplican para la predicción de terremotos. En macroeconomía permiten el tratamiento adecuado de análisis de ciclos económicos, precios de activos, econometría financiera y pronósticos. Y, cómo no, durante esta pandemia de covid-19, investigadores médicos y matemáticos han diseñado patrones de su propagación y mortandad usando la transformada wavelet. Donde haya datos, imágenes o señales, un análisis adecuado con una wavelet adaptada a la situación es una herramienta óptima para la obtención de la información deseada.

El rostro oculto en el cuadro 'Mancha de hierba’, descubierto gracias a la teoría wavelet
El rostro oculto en el cuadro 'Mancha de hierba’, descubierto gracias a la teoría wavelet

Pedro J. Miana Departamento de Matemáticas, Instituto Universitario de Matemáticas y Aplicaciones de la Universidad de Zaragoza

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